灰靶决策
多目标加权智能灰靶决策模型
1. 灰色决策模型
定义1 事件、对策、目标、效果称为灰色决策四要素.
定义2 设$A={a_1,a_2,\cdots,a_n}$为研究范围内事件的全体，称为该研究范围内的事件集，$a_i(i=1,2,\cdots,n)$为第$i$个事件，所有可能对策全体称为对策集，记作$B={b_1,b_2,\cdots,b_m}$，其中$b_j(j=1,2,\cdots,m)$为第$j$种对策.
定义3 事件集A与对策集B的乘积$A\times B = {(a_i,b_j)|a_i\in A,b_j\in B}$称为决策方案集，记作$S= A\times B$.对于任意$a_i \in A, b_j \in B$，称$(a_i,b_j)$为一个决策方案，记作$s_{ij}=(a_i,b_j)$.
定义4 设$$U^{(k)}=(u_{ij}^{(k)})=\begin{bmatrix}u_{11}^{(k)}&\dots&u_{1m}^{(k)}\\vdots&\ddots&\vdots\u_{1n}^{(k)}&\dots&u_{nm}^{(k)}\end{bmatrix}$$为决策方案集$S$在目标下的效果样本矩阵.
- 设$k$为效益型目标,希望目标效果的样本值越大越优.$k$目标下的灰靶为$u_{ij}^{(k)}\in[u_{i_0j_0}^{(k)},\max_i\max_j{u_{ij}^{(k)}}]$即$u_{i_0j_0}^{(k)}$为k目标的效果临界值,称$r_{ij}^{(k)}=\frac{u_{ij}^{(k)}-u_{i_0j_0}^{(k)}}{\max_i\max_j{u_{ij}^{(k)}}-u_{i_0j_0}^{(k)}}$为效益型目标效果测度函数.
- 设$k$为成本型目标，希望目标效果的样本值越小越优.设$k$目标下的灰靶为$u_{ij}^{(k)}\in[u_{i_0j_0}^{(k)},\min_i\min_j{u_{ij}^{(k)}}]$即$u_{i_0j_0}^{(k)}$为k目标的效果临界值,称$r_{ij}^{(k)}=\frac{u_{i_0j_0}^{(k)}-u_{ij}^{(k)}}{u_{i_0j_0}^{(k)}-\min_i\min_j{u_{ij}^{(k)}}}$为成本型目标效果测度函数.
- 设$k$为适中型目标,希望目标效果的样本值越 接近一个适中值$A$越优.设$k$目标下的灰靶为$u_{ij}^{(k)}\in[A-u_{i_0j_0}^{(k)},A+u_{i_0j_0}^{(k)}]$即$A-u_{i_0j_0}^{(k)}$，$A+u_{i_0j_0}^{(k)}$，分别为k目标下的下限效果临界值和上限效果临界值.
① 当$u_{ij}^{(k)}\in[A-u_{i_0j_0}^{(k)},A]$时，称$r_{ij}^{(k)}=\frac{u_{ij}^{(k)}-A+u_{i_0j_0}^{(k)}}{u_{i_0j_0}^{(k)}}$为适中型目标下限效果测度函数;
②当$u_{ij}^{(k)}\in[A,A+u_{i_0j_0}^{(k)}]$时，称$r_{ij}^{(k)}=\frac{A+u_{ij}^{(k)}-u_{i_0j_0}^{(k)}}{u_{i_0j_0}^{(k)}}$为适中型目标上限效果测度函数;
定义5 当$k$目标效果值$r_{ij}^k\in[0,1]$时,称$k$目标中靶,$k$目标为加分因素;当$k$目标效果值$r_{ij}^k\in[-1,0]$时,称$k$目标脱靶,$k$目标为减分因素.
定义6 设$\eta_k(k=1,2,\cdots,s)$为目标$k$的决策权，$\sum_{k=1}^s\eta_k=1$，称$R^{(k)}=(r_{ij}^{(k)})=\begin{bmatrix}r_{11}^{(k)}&\dots&r_{1m}^{(k)}\\vdots&\ddots&\vdots\r_{1n}^{(k)}&\dots&r_{nm}^{(k)}\end{bmatrix}$为决策方案集S在k目标下的一致效果测度矩阵.对于$s_{ij}\in S$,称$r_{ij}=\sum_{k=1}^s\eta_kr_{ij}^{(k)}$为决策方案的综合效果测度函数，同时也称$R=(r_{ij})=\begin{bmatrix}r_{11}&\dots&r_{1m}\\vdots&\ddots&\vdots\\r_{1n}&\dots&r_{nm}\end{bmatrix}$为综合效果测度矩阵.
**定义7 ** 若$\max_{1\leqslant j\leqslant m}{r_{ij}}=r_{ij_0}$则称$b_{j_0}$为事件$a_i$的最优对策；若$\max_{1\leqslant j\leqslant n}{r_{ij}}=r_{i_0j}$则称$a_{i_0}$为事件$b_j$的最优事件；若$\max_{1\leqslant i\leqslant n}\max_{1\leqslant j\leqslant m}{r_{ij}}=r_{i_0j_0}$则称$s_{i_0j_0}$为最优局势即方案.
2. 多目标加权智能灰靶决策模型的建模流程
详细的多目标加权智能灰靶决策模型的建模算法流程如图所示.
