On comparing interval numbers 文章阅读笔记
On comparing interval numbers 文章阅读笔记
一、文章概述
这篇文章由Atanu Sengupta和Tapan Kumar Pal撰写，主要探讨了如何在实数线上比较和排序两个区间数。区间数作为实数的一种扩展，用于表示参数的不确定性或容忍范围。文章提出了两种比较区间数的方法：一种基于价值判断指数（乐观决策者的偏好），另一种定义了严格和模糊的偏好排序（悲观决策者的视角）。
二、区间数的基本概念
区间数的表示：
- 区间数 $ A $ 可以表示为 $ A = [a_L, a_R] $，其中 $ a_L $ 和 $ a_R $ 分别是区间 $ A $ 的左极限和右极限。
- 中点 $ m(A) = \frac{a_L + a_R}{2} $ 和宽度 $ w(A) = \frac{a_R - a_L}{2} $。
区间数的运算：
- 加法：$ A \oplus B = [a_L + b_L, a_R + b_R] $
- 减法：$ A \ominus B = [a_L - b_R, a_R - b_L] $
三、现有方法的回顾与讨论
Moore的方法：
- 定义了两种传递性序关系，一种是实数线上“<”的扩展，另一种是集合包含关系的扩展。但这些方法无法处理重叠区间的排序。
Ishibuchi和Tanaka的方法：
- 提出了两种序关系：$ \preceq_{LR} $ 和 $ \preceq_{mw} $。虽然这些方法定义了部分排序，但存在无法排序的区间对，且主要关注偏好排序而非价值排序。
Kundu的方法：
- 基于模糊偏好关系定义了一个排序方法，但该方法在某些情况下与理性决策者的偏好不一致。
四、本文主要工作
价值判断指数（A-index）：（不是作者提出的方法）
A-index是一个接受度函数，用于衡量一个区间数A在价值上是否劣于另一个区间数B。其公式为$ \mathcal{A} \ominus = \frac{m(B) - m(A)}{w(B) + w(A)}, $，其中m表示区间的中点，w表示区间的宽度。
如果A(A, B) > 0，则B在价值上优于A；如果0 < A(A, B) < 1，则表示部分接受；如果A(A, B) ≥ 1，则表示完全接受。
该方法既考虑了区间的中点也考虑了宽度，适用于多种决策场景，具有传递性和一致性。
这种方法的优点体现在example3.2.1、 example3.2.2等几个例子中。
对于这个指数的一个通俗理解： 一个区间的平均位置与另一个参考区间的平均位置相比，决定了前者优于后者还是劣于后者。
A-index可以应用于任意一对区间数的比较，而不像Ishibuchi和Tanaka的方法那样受限于$≤_{LR}\leq_{LR}≤LR$和≤mw\leq_{mw}≤mw条件的限制。
对于实数轴上的任意两个区间，Kundu提出的模糊左性关系在大多数情况下与A-index得出的结论相同，但存在一个例外情况：当两个区间的中点相同且宽度不同，Kundu的方法会得出A和B都是最优选择，这与直觉不符。
这一方法的缺点：相较之下，乐观的决策者更倾向于使用A-index，因为他们倾向于基于期望值和平均情况进行决策，这与A-index的设计初衷更加契合。因此，A-index更适合乐观决策者的使用，而无法完全满足悲观决策者的需求。
模糊偏好排序：（基于上述方法，加入本文的创新）
- 从悲观决策者的角度出发，定义了模糊集 $ B^H $ 和 $ X^H $，分别表示对区间 $ B $ 和变量区间 $ X $ 的拒绝程度。
- 通过修改模糊集的成员函数，可以模拟不同程度悲观（或乐观）决策者的偏好模式。
五、应用示例
文章通过多个示例展示了如何应用这两种方法来比较和排序区间数。例如，在最大化利润的场景中，通过计算价值判断指数或模糊偏好程度，可以帮助决策者选择最优方案。
六、如何应用这些方法
理解基本概念：
- 首先需要明确区间数的表示和运算规则。
选择适合的方法：
- 根据决策者的偏好（乐观或悲观）和问题的具体需求，选择合适的方法进行比较和排序。
计算与解释：
- 使用文章中的公式计算价值判断指数或模糊偏好程度。
- 解释结果，为决策者提供决策支持。
考虑实际应用场景：
- 在实际应用中，可能需要根据具体的数据和需求调整参数和方法。
七、结论
这篇文章为比较和排序区间数提供了两种有效的方法：价值判断指数和模糊偏好排序。这两种方法各有特点，适用于不同的决策场景和决策者偏好。通过深入理解这些方法，你可以在处理含有不确定性或容忍范围的决策问题时更加得心应手。